区域（或开区域）：连通的开集称为区域或开区域.如果点集（平面点集）E的点都是E的内点，则称E为开集.如果点集E的任何两点，都可用折线联结起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集.（P54）

如果函数$z = f\left( {x,y} \right)$在区域D内每一点$\left( {x,y} \right)$处对$x$的偏导数都存在，那么这个偏导数就是$x、y$的函数，它就称为函数$z = f\left( {x,y} \right)$对自变量$x$的偏导函数，记作

$$\frac{{\partial z}}{{\partial x}},\frac{{\partial f}}{{\partial x}},{z_x},{f_x}\left( {x,y} \right)$$

由于区域（或开区域）的定义中将开区域简写为区域，因此上述偏导函数的概念中的区域是指开区域.在闭区域内不正确，因为在某一点处的偏导数是极限，极限要求在某一点的邻域内有定义，而在闭区域的边界上，函数只在所有点的邻域内的部分范围上有定义.

三元函数$u = f\left( {x,y,z} \right)$在点$\left( {x,y,z} \right)$处对$x$的偏导数定义为

\[\begin{gathered} {f_x}\left( {x,y,z} \right) = \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x,y,z} \right) - f\left( {x,y,z} \right)}}{{\Delta x}} \hfill \\ \end{gathered} \]

其中$\left( {x,y,z} \right)$是函数$u = f\left( {x,y,z} \right)$的定义域的内点.这里特别强调了$\left( {x,y,z} \right)$是函数$u = f\left( {x,y,z} \right)$的定义域的内点，说明我们在上面的概念中对区域D是开区域的理解是正确的.（P64）

偏导数的部分涉及区域D的，都是开区域.例如高阶偏导数.