多元函数在某点可微的充分条件和多元复合函数（一元函数与多元函数复合的情形）在某点可导的定理中，要求偏导数在该点连续.偏导数在一点连续，必然有偏导数在该点的某个邻域内存在，从而利用一元函数拉格朗日中值定理得到全微分的表达式，再次利用连续性得到全微分.

定理2（充分条件） 如果函数$z = f\left( {x,y} \right)$的偏导数$\frac{{\partial z}}{{\partial x}},\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$在点$\left( {x,y} \right)$连续，则函数在该点可微分.

一元函数与多元函数复合的情形

定理1 如果函数$u = \varphi \left( t \right),v = \phi \left( t \right)$都在点$t$可导，函数$z = f\left( {u,v} \right)$在对应点$\left( {u,v} \right)$具有连续偏导数，则复合函数$z = f\left[ {u = \varphi \left( t \right),v = \phi \left( t \right)} \right]$在点$t$可导，且有

$$\frac{{{\text{d}}z}}{{{\text{d}}t}} = \frac{{\partial z}}{{\partial u}}\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}t}} + \frac{{\partial z}}{{\partial v}}\frac{{{\text{d}}v}}{{{\text{d}}t}}$$

上述两个的表述不相同，但是意思一致.

下面的表述和意思与上面2个完全不同.

在隐函数存在定理中，是要求在点的某一邻域内具有连续偏导数，这意味着在该点以及这个邻域内，偏导数都连续，使得我们对方程左端求全微分时，是对该邻域内所有的点，包括该点和其他点求的全导数，因此使用的表达式是

$$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} + \frac{{\partial F}}{{\partial y}}\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = 0$$

避免理解为

\[\begin{gathered} {\left. {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}} \right|_{x = {x_0},y = {y_0}}} + \hfill \\ {\left. {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}} \right|_{x = {x_0},y = {y_0}}}{\left. {\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}} \right|_{x = {x_0},y = {y_0}}} \hfill \\ = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]

隐函数存在定理1 设函数$F\left( {x,y} \right)$在点$P\left( {{x_0},{y_0}} \right)$的某一邻域内具有连续偏导数，且$F\left( {{x_0},{y_0}} \right) = 0,{F_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right) \ne 0$，则方程$F\left( {x,y} \right) = 0$在点$\left( {{x_0},{y_0}} \right)$的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数$y = f\left( x \right)$，它满足条件${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$，并有

$$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = - \frac{{{F_x}}}{{{F_y}}}$$